2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

发布于:2021-11-28 07:30:25

2018-2019 学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试 数学(文)试题

一、单选题 1.一支田径队有男运动员 560 人,女运动员 420 人,为了解运动员的健康情况,从 男运动员中任意抽取 16 人,从女生中任意抽取 12 人进行调查.这种抽样方法是( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法 【答案】D 【解析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样 【详解】 总体由男生和女生组成,比例为 560:420=4:3,所抽取的比例也是 16:12=4:3. 故选:D. 【点睛】 本小题主要考查抽样方法,当总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方 法进行抽样,属基本题.

2.已知

,其中 是实数, 是虚数单位,则

A.

B.

C.

D.

【答案】D

的共轭复数为

【解析】∵ 选D

,∴x=2,y=1,∴复数 2+i 的共轭复数为 ,故

3.命题“若



,则

”的逆否命题是 ( )

A.若



,则

B.若



,则

C.若

且,

,则

D.若

或,

【答案】D

,则

第 1 页 共 15 页

【解析】根据逆否命题的定义进行判断即可. 【详解】 根据逆否命题的定义可得命题的逆否命题为: 若 x≠0 或 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0, 故选:D. 【点睛】 本题主要考查逆否命题的判断,根据逆否命题的定义是解决本题的关键.比较基础.

4.当

时,比较 和 的大小并猜想

A. 时,

B. 时,

C. 时, 【答案】D

D. 时,

【解析】

当 时, ,即

;当 时, ,即

;当 时, ,即



当 时,

,即

;当 时,

,即

;当 时,

,可猜

想 时,

,故选 D.

【方法点睛】本题通过观察几组不等式,归纳出一般规律来考察归纳推理,属于中档题.

归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同

性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归

纳两类:(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,

寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列

等;(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

5.在正方形 ABCD 内随机生成 n 个点,其中在正方形 ABCD 内切圆内的点共有 m

个,利用随机模拟的方法,估计圆周率 的*似值为 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】按照几何概型来计算圆周率,先表示出两个图形的面积,求出豆子落在圆中的

概率,根据比例得出圆周率的*似值.

【详解】

第 2 页 共 15 页

由题意知,本题可以按照几何概型来计算出圆周率, 设正方形的边长为 2,正方形的面积是 2×2=4, 圆的面积是 π×12=π,

∴ ,∴

故选:C. 【点睛】

本题考查了模拟方法估计概率的应用问题,是利用面积比表示概率.

6.已知命题

p

: ?x

?0,

x?

4 x

?

4 ;命题 q : ?x0

?R

, 2x0

? ?1 .则下列判断正

确的是( )

A. p 是假命题

B. q 是真命题

C. p ? (?q) 是真命题

D. (?p) ? q 是真命题

【答案】C

【解析】试题分析:由于命题 p :?x ? 0 , x ? 4 ? 2 x ? 4 ? 4 ,故命题 p 是真命题;

x

x

由于 ?x ?R , 2x ? 0 ,可知命题 q 是假命题, ?q 所以是真命题,故选 C.

【考点】 复合命题的真值的判定和运用.

7.直线

与圆

相交于 , 两点,则“ ”是“

”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】 直线

与圆

相交于 两点, 圆心到直线的距离

,则

,当 时,

,即充分

性成立,若

,则

,即 ,解得 或

故“ ”是“

”的充分不必要条件,故选 A.

8.从集合

中随机选取一个数记为 ,从集合

,即必要性不成立, 中随机选取一

第 3 页 共 15 页

个数记为 ,则直线

不经过第四象限的概率为

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】从集合 , 中随机选取后组合成的数对有





, , ,共 种,要使直线

, ,共有 种满足,

,,,



不经过第四象限,则需

所以所求概率 .
9.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( )

A.105 B.16 C.15 D.1 【答案】C 【解析】试题分析:根据程序框图确定框图所要执行的运算,由输入的 依次进行运算

求 ,根据判断框中的条件判断运算是否执行,得到结果,故选 C. 【考点】程序框图.

10.设 F 为抛物线

的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若

,则

=() A.9 B.6 C.4 D.3 【答案】B 【解析】先设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),根据抛物线方程求得焦点坐标

第 4 页 共 15 页

和准线方程,再依据

0,判断点 F 是△ABC 重心,进而可求 x1+x2+x3 的值.最

后根据抛物线的定义求得答案.

【详解】

设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 抛物线焦点坐标 F(1,0),准线方程:x=﹣1





∴点 F 是△ABC 重心

则 x1+x2+x3=3 y1+y2+y3=0 而|FA|=x1﹣(﹣1)=x1+1 |FB|=x2﹣(﹣1)=x2+1 |FC|=x3﹣(﹣1)=x3+1 ∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=(x1+x2+x3)+3=3+3=6 故选:B.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的简单性质.解本题的关键是判断出 F 点为三角形的重心.

11.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,

甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获

奖.”四位歌手的话只有两位是对的,则获奖的歌手是

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【答案】C

【解析】若甲是获奖的歌手,则四句全是假话,不合题意;若乙是获奖的歌手,则甲、

乙、丁都说真话,丙说假话,与题意不符;若丁是获奖的歌手,则甲、丁、丙都说假话,

乙说真话,与题意不符;当丙是获奖的歌手,甲、丙说了真话,乙、丁说了假话,与题

意相符.

故选 C.

点睛:本题主要考查的是简单的合情推理题,解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分

别是获奖歌手时的,甲乙丙丁说法的正确性即可.

12.已知点

分别为双曲线

的左、右焦点, 为双曲线左

第 5 页 共 15 页

支上的任意一点,若 A.2 B.5 C.3 【答案】B

的最小值为 ,则双曲线的离心率为 D.2 或 5

【解析】首先利用双曲线的定义求出关系式,进一步利用 或 4a,此时 c=2a 或 5a,即可求出双曲线的离心率. 【详解】

的最小值为 9a,确定 m=a



,根据双曲线定义:



所以



因为

的最小值为 ,

所以(提示:根据“对勾函数”的特征)

(不合题意舍去)或



此时 ,所以双曲线的离心率为 5. 故选:B 【点睛】 本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中根据条件转化为圆锥曲线的离心 率的方程,得到 a,c 的关系式是解得的关键,对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围),

常见有两种方法:①求出 a,c,代入公式 ;②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的 齐次式,转化为 a,c 的齐次式,然后转化为关于 e 的方程(不等式),解方程(不等式),即 可得 e (e 的取值范围).

二、填空题
13.用反证法证明命题:“若 , 且 小于 2”时,应假设___.

【答案】假设

两者都大于或等于 2

,则



中至少有一个

第 6 页 共 15 页

【解析】由于“ , 中至少有一个小于 ”的反面是: “ , 都大于

或等于 ”,故用反证法证明命题: “若



,则 , 中至少

有一个小于 ”时,应假设 , 都大于或等于 ,故答案为 和 都大

于或等于 .
14.类比*面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB,AC 互相垂直,则

三角形三边长之间满足关系:

.若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC,ACD,

ADB 两两互相垂直,则三棱锥的三个侧面积 , , 与底面积 S 之间满足的关系 为__.

【答案】 【解析】斜边的*方等于两个直角边的*方和,可类比到空间就是斜面面积的*方等于 三个直角面的面积的*方和,边对应着面. 【详解】 由边对应着面,边长对应着面积,

由类比可得



故答案为



【点睛】 本题考查了从*面类比到空间,属于基本类比推理.

15.若关于 x 的不等式 范围是 ___.

对任意

恒成立,则实数 a 的取值

【答案】



【解析】利用绝对值三角不等式可得|x+3|﹣|x﹣1|≤|(x+3)﹣(x﹣1)|=4,于是解不等 式 a2﹣3a≥4 即可求得答案. 【详解】 ∵|x+3|﹣|x﹣1|≤|(x+3)﹣(x﹣1)|=4,

第 7 页 共 15 页

不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a,对任意实数 x 恒成立, ∴a2﹣3a≥4,即(a﹣4)(a+1)≥0,

解得:

或,

∴实数 a 的取值范围为

或,

故答案为:

或.

【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法,着重考查绝对值三角不等式|x+a|﹣|x+b|≤|a﹣b|的应用, 考查等价转化思想与恒成立问题,属于中档题.

16.已知 A 为椭圆

上的动点,MN 为圆

的最大值为_____.

的一条直径,则

【答案】15 【解析】由题意画出图形,得到椭圆上离圆心最远的点 A,在设出圆的直径两端点的坐 标,由*面向量数量积运算求得答案. 【详解】 作出椭圆和圆对应的图象如图,

? 圆(x﹣1)2+y2=1 在椭圆内,椭圆上的所有点只有左顶点到圆心(1,0)距离最远, 由题意可设圆的直径的两个端点为 M(1+cosθ,sinθ),N(1﹣cosθ,﹣sinθ), 又 A(﹣3,0),

∴ (4+cosθ,sinθ), (4﹣cosθ,﹣sinθ),

则?

16﹣cos2θ﹣sin2θ=15. 第 8 页 共 15 页

∴AM?AN 的最大值为 15. 故答案为:15. 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质,考查了*面向量的数量积运算,考查了数形结合的解题思想 方法,是中档题.
三、解答题 17.用综合法或分析法证明:

(1)如果

,则



(2)



【答案】(1)见证明;(2)见证明

【解析】(1)利用基本不等式,结合 y=lgx 在(0,+∞)上增函数即可证明; (2)用分析法证明不等式成立,就是寻找使不等式成立的充分条件,直到使不等式成

立的充分条件显然成立为止.

【详解】

证明:(1)当 a,b>0 时,有 ≥ >0,

∴lg ≥lg ,

∴lg ≥ lg (ab)=



∴lg ≥



(2)要证 + >2 +2,

只要证( + )2>(2 +2)2,

即 2 >2 ,显然成立的, 所以,原不等式成立. 【点睛】 本题考查综合法或分析法,考查对数函数的单调性和定义域,基本不等式的应用,掌握 这两种方法证明不等式是关键,属于中档题.

第 9 页 共 15 页

18.已知复数 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

,试求:当实数 a 取什么值时,复数 z 为:

【答案】(1) (2)

(3)不存在实数 a

【解析】(1)当 z 为实数时,则有 a2﹣5a﹣6=0,a2﹣1≠0,解出即可得出.

(2)当 z 为虚数时,则有

,解出即可得出.

(3)当 z 为纯虚数时,则有 【详解】

.解出即可得出.

(1) 当复数 z 为实数时,

所以 所以 .

所以当

时,复数 z 为实数.

(2) 当复数 z 为虚数时,

所以 所以

且.

所以当

时,复数 z 为虚数.

(3) 当复数 为纯虚数时,
所以 所以不存在实数 a,使复数 z 为纯虚数. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则及其有关知识、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计
第 10 页 共 15 页

算能力,属于基础题. 19.某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 120 分为

优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的

列联表,且已知在甲、乙

两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 .

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,是否有 99.9% 的把握认为“成绩与班级有关系”.

参考公式与临界值表:



【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】(1)根据题意填写列联表即可; (2)由表中数据计算观测值,对照临界值得出结论. 【详解】 (1)

(2) 【点睛】

,没有 99.9% 的把握认为成绩与班级有关.

独 立 性 检 验 的 一 般 步 骤 :( 1 ) 根 据 样 本 数 据 制 成 列 联 表 ;( 2 ) 根 据 公 式

计算 的值;(3) 查表比较 与临界值的大小关系,作统计 判断.(注意:在实际问题中,独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系,得到的结论 也可能犯错误.) 20.某公司经营一批进价为每件 4 百元的商品,在市场调查时发现,此商品的销售单
第 11 页 共 15 页

价 x(百元)与日销售量 y(件)之间有如下关系:

相关公式:





(1)求 y 关于 x 的回归直线方程;

(2)借助回归直线方程请你预测,销售单价为多少百元(精确到个位数)时,日利润

最大?

【答案】(1)

(2)见解析

【解析】(1)求求出回归系数,即可 y 关于 x 的回归直线方程; (2)销售价为 x 时的利润为(x﹣4)(﹣2x+20.8)=﹣2x2+28.8x﹣83.2,即可得出结 论. 【详解】

(1) 因为 ,

,所以,



于是得到 y 关于 x 的回归直线方程



(2) 销售价为 x 时的利润为

.



时,日利润最大.

【点睛】

求回归直线方程的步骤:①依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系;

②计算

的值;③计算回归系数 ;④写出回归直线方程为

;回

归直线过样本点中心 是一条重要性质,利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们

分析两个变量的变化趋势.

21.已知抛物线

,直线

与 E 交于 A,B 两点,且



其中 O 为原点.

(1)求抛物线 E 的方程;

第 12 页 共 15 页

(2)点 C 坐标为 (0,-2),记直线 CA,CB 的斜率分别为 , ,证明:



定值.

【答案】(1) ;(2)证明过程详见解析. 【解析】试题分析:本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量 积等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、综合分析和
解决问题的能力.第一问,将直线与抛物线方程联立,消去参数 ,得到关于 的方程,得

到两根之和两根之积,设出点 的坐标,代入到

中,化简表达式,再将上述

两根之和两根之积代入得出 的值,从而得到抛物线的标准方程;第二问,先利用点

的坐标得出直线 的斜率,再根据抛物线方程转化参数 ,得到 和 的关系式, 代入到所求证的式子中,将上一问中的两根之和两根之积代入,化简表达式得出常数即 可.

试题解析:(Ⅰ)将

代入

,得

. 2分

其中





,则



. 4分



由已知,

,.

所以抛物线 的方程 . 6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,





,同理

, 10 分

所以

. 12 分

【考点】1.抛物线的标准方程;2.韦达定理;3.向量的数量积;4.直线的斜率公式.

22.(本小题满分

12

分)已知椭圆 ? :

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ?

第 13 页 共 15 页

到经过两点 ?c, 0?, ?0,b? 的直线的距离为 1 c .
2 (Ⅰ)求椭圆 ? 的离心率;
(Ⅱ)如图,??是圆 ?: ? x ? 2?2 ? ? y ?1?2 ? 5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? ,? 两
2 点,求椭圆 ? 的方程.

【答案】(Ⅰ) 3 ;(Ⅱ) x2 ? y2 ? 1.

2

12 3

【解析】试题分析:(Ⅰ)先写过点 ?c, 0?,?0,b? 的直线方程,再计算原点 ? 到该直线

的距离,进而可得椭圆 ? 的离心率;(Ⅱ)先由(Ⅰ)知椭圆 ? 的方程,设 ??的方程,

联立

?? ? ??

y ? k ?x ? 2??1
x2 ? 4 y 2 ? 4b 2







y

,可得

x1

?

x2



x1 x2

的值,进而可得

k

,再利用

?? ? 10 可得 b2 的值,进而可得椭圆 ? 的方程.

试题解析:(Ⅰ)过点 ?c, 0?, ?0,b? 的直线方程为 bx +cy - bc = 0 ,

则原点 ? 到直线的距离 d ? bc ? bc , b2 ? c2 a

由 d = 1 c ,得 a = 2b = 2 a2 - c2 ,解得离心率 c = 3 .

2

a2

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,椭圆 ? 的方程为 x2 +4 y2 = 4b2 .

(1)

依题意,圆心 ???2,1? 是线段 ??的中点,且| AB |= 10 .

易知, ??不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k(x +2) +1 ,代入(1)得

(1+4k 2 )x2 +8k(2k +1)x +4(2k +1)2 - 4b2 = 0



A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 x1

+ x2

=-

8k(2k +1) 1+ 4k 2 , x1x2

=-

4(2k +1)2 1+4k 2

4b2

.



x1

+ x2

= - 4 ,得 -

8k(2k +1) 1+4k 2

= - 4, 解得 k

=

1 2



从而 x1x2 = 8 - 2b2 .

第 14 页 共 15 页

于是| AB |?

1?

? ??

1 2

?2 ??

|

x1

?

x2

|?

5 2

? x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2 ?

10(b2 ? 2) .

由| AB |= 10 ,得 10(b2 - 2) = 10 ,解得 b2 = 3 .

故椭圆 ? 的方程为 x2 + y2 =1 . 12 3

解法二:由(Ⅰ)知,椭圆 ? 的方程为 x2 +4 y2 = 4b2 .

(2)

依题意,点 ? , ? 关于圆心 ???2,1? 对称,且| AB |= 10 .

设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 x12 + 4 y12 = 4b2 , x22 + 4 y22 = 4b2 ,

( ) 两式相减并结合 x1 + x2 = - 4, y1+ y2 = 2, 得 -4(x1 - x2) +8 y1 - y2 = 0 .

易知, ??不与 x 轴垂直,则 x1

?

x2 ,所以 ??的斜率 k AB

=

y1 x1 -

y2 x2

= 1. 2

因此 ??直线方程为 y = 1 (x +2) +1,代入(2)得 x2 +4x +8 - 2b2 = 0. 2

所以 x1 + x2 = - 4 , x1x2 = 8 - 2b2 .

于是| AB |?

1?

? ??

1 2

2
? ??

|

x1

?

x2

|?

5 2

? x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2 ?

10(b2 ? 2) .

由| AB |= 10 ,得 10(b2 - 2) = 10 ,解得 b2 = 3 .

故椭圆 ? 的方程为 x2 + y2 =1 . 12 3
【考点】1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的 方程;5、圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置.

第 15 页 共 15 页


相关推荐

最新更新

猜你喜欢